sábado, 5 de marzo de 2016

primer periodo





27 ENERO 2016

SUCESIONES 

Una sucesión matemática es una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos o ℤ+∪{0} y su codo minio es cualquier otro conjunto, generalmente de números, figuras geométricas o funciones. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
Ejemplo
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (CAB). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...



SUCESIONES ARITMÉTICAS

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales: {1, 2, 3, …}. Una sucesión aritmética es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es an + b, en donde a y son constantes, y n es el número del término deseado. Específicamente, la constante a es la diferencia entre un término y el anterior.
Si sumamos n términos de la sucesión con término general an + b obtendremos el valor:



2,4,6,8,10 -----> Sucesión aritmética 
1,2,3,4,5 -----> sucesión 

EJEMPLO: 

Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…
La diferencia entre cualquier término y el anterior es  3, de modo que el término general sería 3n + b.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.
De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.
Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:
3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.
Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = 3, b = 5 y n = 12:




Por lo tanto se puede representar mediante la formula an+b ---> sucesión donde la a es la diferencia aritmética durante los términos de una sucesión  n es el numero de termino deseado y b lo encontramos en el primer termino.


EJEMPLO:




EJERCICIOS: 

  1. Calcular el 8vo termino de la sucesión 2,4,6,8 
  2. Calcular el 15vo termino de la sucesión 24,27,30
  3. Calcular el 7vo termino de la sucesión 47,51,55,59 
  4. Calcular el 14vo termino de la sucesión -1,-3,-5,-7 
  5. Calcular el 18vo termino de la sucesion -7,-5,-3 




Para sumar ''n'' términos de una sucesion aritmética se representa bajo la siguiente formula y se denomina serie 



EJERCICIOS : Calcular la suma de los 10 primeros términos de la sucesion 



EJERCICIOS







8/FEB/2016

TALLER


  1. Encontrar la serie 18 de la sucesion 8,12,16,20
  2. Encontrar la serie 24 de la sucesion 24,20,16,12
  3. Encontrar la serie 35 de la sucesion  -25,-35,-45
  4. Encontrar la serie 42 de la sucesion -63,-60,-57,-54

DESARROLLO




SUCESIONES GEOMÉTRICA 

Podemos definir una sucesión geométrica de la siguiente manera.



Definición: (Sucesión Geométrica)
Una sucesión geométrica es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante llamada razón r y puede ser positiva o negativa.



Por ejemplo:

Sea la sucesión 5, 15, 45, 135, 405, 1215, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.
Sea la sucesión 3, 9, 27, 81, 243, 729, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.
Sea la sucesión -2, 4, -8, 16, -32, 64, ... es geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es -2.



Cuando hablamos de sucesiones es importante definir la notación utilizada.




Notación: (Sucesión Geométrica)
Comunmente se denominan los términos de una sucesión de la siguiente manera:

a(1) = primer término de la sucesión   
a(2) = segundo término de la sucesión

a(n) = n-ésimo término de la sucesión 
r = razón común
El n-ésimo término de una sucesión geométrica es la regla que determina como se calculan los términos de la misma.

Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos.









12/FEB/2016


Sumar los ''n'' términos de una sucesion geométrica.






EJEMPLO: Calcular el termino de una sucesion 6,12,24,48.







Calcular el termino de la 6 de sucesion 3,9,27.








ACTIVIDAD




  1. Calcular el termino 8 de la sucesion 3,9,27
  2. Calcular el termino 5 de la sucesion 4,8,16
  3. Calcular el termino 7 de la sucesion 525,125
  4. Calcular el termino 5 de la sucesion 7,49,343
  5. Calcular el termino 8 de la sucesion 6,36,216

DESARROLLO








15/FEB/2015



PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.


d = an - an-1

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.





22/FEB/2016

ÁNGULOS

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Definición y características

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
  1. Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
  2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Región angular

Se denomina región angular cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.

Amplitud de un ángulo

Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.2

Unidades de amplitud


Transportador de ángulos.
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
  • Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
 1\; vuelta = 2\; \pi \;\; rad
  • Grado sexagesimal
 1\; vuelta = 360^0
  • Grado centesimal
 1\; vuelta = 400^g
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Tipos de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.
TipoDescripción
Ángulo nulo
Angulo000.svg
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo
Angulo045.svg
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de \frac{\pi}{2} rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Angulo090.svg
Un ángulo recto es de amplitud igual a \frac{\pi}{2} rad.
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Angulo135.svg
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a \frac{\pi}{2} rad y menor a \pi\, rad.
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano
Angulo180.svg
El ángulo llano tiene una amplitud de  \pi \, rad.
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo oblicuo
Angulo225.svg
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.
Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo
o perigonal

Angulo360.svg
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de  2\pi\, rad.
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):
TipoDescripción
Ángulo convexo
o saliente

Angulo060.svg
Es el que mide menos de  \pi\, rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante

Angulo240.svg
Es el que mide más de  \pi\, rad y menos de  2 \pi\, rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:
  • Ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°.
  • Ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común.
  • Ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

En función de su amplitud, se denominan:
  • Ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.
  • Ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°.
  • Ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°.
  • Ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.
Cuando dos rectas son cortadas por una tercera en distindo punto:

RectaQueCorta
  • Ángulos alternos: ángulos dispuestos a distinto lado de una recta que corta otras dos pero que no comparten lado.
\alpha o \gamma es alterno a \beta' o a \delta'
\beta o \delta es alterno a \alpha' o a \gamma\,'
y viceversa.
  • Ángulo alternos internos: ángulos comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta cortante.
\gamma es alterno interno a \beta'
\delta es alterno interno a \alpha'
  • Ángulo alternos externos: ángulos no comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta que corta.
\alpha es alterno externo a \delta'
\beta es alterno externo a \gamma\,'
  • Ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal. Se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la transversal y uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes.

Ángulos compuestos


Dos ángulos contíguos forman un ángulo compuesto
Son los obtenidos mediante la suma o diferencia de ángulos. En la figura se representan dos sectores circulares contiguos, cada uno con su ángulo, denominados α y ß respectivamente; la unión de los dos sectores tendrá por ángulo la composición, en este caso la suma, α + ß, de los ángulos de los sectores que unimos.
Las razones trigonométricas de los ángulos compuestos están relacionadas con la de los ángulos componentes mediante las fórmulas de razones trigonométricas de ángulos compuestos.

Ángulos de un polígono

En función de su posición, se denominan:
  • ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.
  • ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia


Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.
La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre esta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de esta.
La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando solo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales

  • El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
  • El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales

  • Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en un espacio vectorial

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores \langle\cdot,\cdot\rangle, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos x e y mediante la expresión:
\angle(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y \rangle}{\|x\|\cdot\|y\|},
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo (-1,1) debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo [0,\pi] (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:
  • Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
  • Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
  • Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados x e y no nulos,
    \|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\cdot\|y\|\cdot\cos\angle(x,y)

Galería de ángulos

Angulo000.svgAngulo015.svgAngulo030.svgAngulo045.svgAngulo060.svgAngulo075.svg
 0^{\circ} \,  15^{\circ} \,  30^{\circ} \,  45^{\circ} \,  60^{\circ} \,  75^{\circ} \,
Angulo090.svgAngulo105.svgAngulo120.svgAngulo135.svgAngulo150.svgAngulo165.svg
 90^{\circ} \,  105^{\circ} \,  120^{\circ} \,  135^{\circ} \,  150^{\circ} \,  165^{\circ} \,
Angulo180.svgAngulo195.svgAngulo210.svgAngulo225.svgAngulo240.svgAngulo255.svg
 180^{\circ} \,  195^{\circ} \,  210^{\circ} \,  225^{\circ} \,  240^{\circ} \,  255^{\circ} \,
Angulo270.svgAngulo285.svgAngulo300.svgAngulo315.svgAngulo330.svgAngulo345.svg
 270^{\circ} \,  285^{\circ} \,  300^{\circ} \,  315^{\circ} \,  330^{\circ} \,  345^{\circ} \,
Angulo360.svg

















9 de marzo del 2016

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR 

Se entiende por sistemas de medición angular a la clase de mediciones sobre un arco de circunferencia. Son un capítulo básico en el estudio de la trigonometría, para comprender estos sistemas se debe saber el concepto de ángulo trigonométrico. En este sistema de medición angular utilizamos el ángulo como posición de vértice en ángulo C. Por ejemplo: el ángulo C es un vértice 0 que se suma a la circunferencia de C+A que llega a un total de C+A= 360º









MEDIDA DE ÁNGULOS  EN EL SISTEMA SEXADECIMAL

El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
1 h flecha 60 min flecha 60 s
1º flecha 60' flecha 60''


Suma

1 Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.
Ejemplo: 
Suma
2 Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.
Ejemplo: 
Suma
3 Se hace lo mismo para los minutos.
Ejemplo: 
Suma
>>



Medidas complejas e incomplejas

1 Medida compleja
Es aquella que se expresa con distintas clases de unidades:
Ejemplo: 

3h 5min 7s
25º 32' 17''
2 Medida incompleja o simple
Se expresa únicamente con una clase de unidades.
Ejemplo: 

3.2h
5.12º
3 Paso de medidas complejas a incomplejas
Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener y posteriormente sumarlas.
Ejemplo: 

Pasar a segundos 3h 36min 42s.
Paso de medida compleja a incompleja
4 Paso de medidas incomplejas a complejas
Se pueden dar dos casos:
1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir.
Ejemplo: 

7520''
Paso de medida incompleja a compleja
2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar.
Ejemplo: 
Paso de medida incompleja a compleja

Resta

1 Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.
Ejemplo:
Resta
2 Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.
Ejemplo:
Resta
3 Hacemos lo mismo con los minutos. Y después restamos las horas.
Ejemplo:
Resta

Multiplicación por un número

1 Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número.
Ejemplo:
Multiplicación
2 Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.
Ejemplo:
Multiplicación
3 Se hace lo mismo para los minutos.
Ejemplo:
Multiplicación

División por un número

Dividir 37º 48' 25'' entre 5:
1 Se dividen las horas (o grados) entre el número.
Ejemplo:
División
2 El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.
Ejemplo:
División
3 Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.
Ejemplo:
División
4 Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.
Ejemplo:
División





MEDIDA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SINGULAR 

Este sistema tiene como unidad de medida el RADIAN, que es el ángulo que encierra entre sus lados un arco de circunferencia con centro en su vértice, de longitud igual al radio de la misma.

                                         



                                           


ACTIVIDAD

Expresa grados de radiales los siguientes ejercicio 100º,25º,78º,180º,37º,190º,320º,193º,255º,360º.




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